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从典型错例分析及矫正谈“列举策略”的应用

来源:www.37lw.cn 编辑:admin 时间:2018-01-02
所谓“列举策略”,就是把满足题目要求的所有可能值均列出来。在此之后,我们需要对所有的可能值进行分析,选择可以满足题目要求的所需值,对不满足题目要求的所需值进行剔除,这样我们才有可能得到最后的答案。而“列举策略”的重点在于:不遗漏、不重复、有思考、会计算。下面,笔者拟结合几个数学错例,谈谈如何进行列举。 
  例1:小红有10朵小红花,小明有8朵小蓝花,小诚有15朵小绿花。现在已知两朵小红花可以换5朵小绿花或者1朵小蓝花。如果小红要用自己手中的花来和小明、小诚这两个或者其中的一人来进行交换,请问在交换结束后小红手中可能有几朵小红花、小黄花和小绿花? 
  学生的答案只有如下几种:10朵小红花、0朵小蓝花、0朵小绿花;8朵小红花、1朵小蓝花、0朵小绿花;6朵小红花、2朵小蓝花、0朵小绿花;4朵小红花、3朵小蓝花、0朵小绿花;2朵小红花、4朵小蓝花、0朵小绿花;0朵小红花、5朵小蓝花、0朵小绿花;8朵小红花、0朵小蓝花、5朵小绿花;6朵小红花、0朵小蓝花、10朵小绿花;4朵小红花、0朵小蓝花、15朵小绿花。 
  【诊断】通过分析学生的答案,笔者发现学生在解题的过程中存在两种问题:其一,不明题意,理解上出现偏差。其二,没有考虑到交换过程中存在的复杂情况。在学生的回答中有这样一种情况:10朵小红花、0朵小蓝花、0朵小绿花。在这种情况下,小红手中的花的数目并没有发生变化。而题中已经明确指出:小红要用自己手中的花来和小明、小诚这两个或者其中的一人来进行交换。这也就是说:交换一定会发生,小红手中的花的数目一定会发生改变。而学生在解答中还保留了原来的花的数目,这就说明解答者不明题意,理解上出现偏差。二是学生在对题目进行解答时并没有考虑到小红既和小明交換花朵又和小诚交换花朵的情况。出现这种情况可能是学生对题意理解不足,也可能是没有考虑到交换过程中存在的复杂情况。为此,笔者提出以下解决对策: 
  1.多读题、理解题意 
  在答题的过程中,部分学生总是会表现得非常匆忙,这种现象在考试中尤为明显。学生如果读题过于匆忙,可能会因为对题意理解不透而丢分,上文就是最好的说明。一步错,满盘皆输。在平时的教学中,教师一定要强调读题的重要性。对于上题的教学,教师要对其中的重点信息进行分析,特别要对“如果小红要用自己手中的花来和小明、小诚这两个或者其中的一人来进行交换”这一段话做重点分析,强化学生对关键字词的理解,明白题意中必须有“交换”的发生。 
  2.嵌套列举 
  二维的列举较一维的列举要复杂得多,在面对有多个变量的题目时,我们需要让学生掌握“嵌套列举”的解题技巧。所谓嵌套列举,它要在第一次列举的所有列举项中进行第二次列举。仍以上题为例,题目中具有两个变量:和小明交换、和小诚交换。而解题者就可能犯这样的错误:列举遗漏、单项列举。列举遗漏是举例过程不规范所致,利用嵌套列举,就可以避免此类问题的发生。在本题中,我们可以引导学生先对小红和小明的交换情况进行分析,接着再引导学生在以上情况的基础上对小红和小诚的交换情况进行分析。例如,先确定蓝花数量再确定绿花和红花之间的转换,小红和小明交换0朵小蓝花,这样小红手中的花朵就变成了:10朵小红花、0朵小蓝花,接着引导学生分析小红在此种情况下和小诚的交换情况,由于交换必须发生且小诚只有15朵小绿花,所以小红最少用2朵小红花和小诚交换5朵小绿花,最多用6朵小红花和小诚交换15朵小绿花,此时小红手中的花可能有以下几种情况:8朵小红花,0朵小蓝花,5朵小绿花;6朵小红花,0朵小蓝花,10朵小绿花;4朵小红花,0朵小蓝花,15朵小绿花。小红和小明交换1朵小蓝花,这样小红手中的花朵就变成了:8朵小红花、1朵小蓝花,小红在此种情况下和小诚的进行交换可以最少交换0朵小绿花,最多15朵小绿花……依此类推,我们可以得到小红和小明交换2朵、3朵、4朵、5朵蓝花的情况。教师需要注意提醒学生存在小红只与小明交换或者只与小诚交换的情况。 
  3.明确范围 
  此题中存在三个基本量:红花、蓝花、绿花。三个基本量也就有三个范围,如果学生在解题的过程中忽视了其中的某一个范围,就会导致整道题的解题思路方向错误。例如:如果学生忽视了绿花的最大取值为15的话,就可能得到如下错误答案:0朵小红花、25朵小绿花。为了提醒学生记住题目中的范围,我们可以让学生尝试使用如下两种方法:其一,在写题之前将范围写在草稿纸上,提醒自己注意。其二,在写题结束后,对答案进行检查,对不在范围内的数据进行剔除。 
  例2:用100元到商店买东西,已知:一块橡皮需要花费3元、一支铅笔需要花费7元、一个本子需要花费10元。问:在正好花光100元的情况下,可以买到几样东西? 
  学生的答案有:7+3+10=20(元) 100÷20=5 5×3=15 
  因此,可以买到15样东西。 
  【诊断】此题解答的错误点为:第一,没有树立列举的概念。第二,曲解题目意思。首先,在阅读完题目后,我们应该知道此题的答案并不止一个。通过简单的分析我们就可以得到以上结论,例如:买一块橡皮、一支铅笔、9个本子正好消费100元,此时买到的东西数为11。而买2块橡皮、2支铅笔、8个本子正好消费100元,此时买到的东西数为12。而解答者最终只得到了一个答案,这说明解答者没有列举的概念。其次,通过解答者的演算步骤,我们可以知道解答者所算的答案为:在铅笔数目等于橡皮数目等于本子数目时,刚好消费一百元。而原题中并没有“铅笔数目等于橡皮数目等于本子数目”这样的条件限制,因此说明解答者曲解了题目意思。本题的对策分为两类:一般解题方法和巧妙解题方法。 
  1.一般解题方法 
  一般解题方法适用于时间紧急的情况,如考试中学生不知道该如何进行答题时,可以对此题使用穷举法。通过穷举法,学生可以得出所有的答案。三层嵌套是使用穷举法所需要运用的解题策略。三层嵌套是在两层嵌套的基础上发展起来的嵌套方法。以上题为例,我们可以让学生在确定了买一块橡皮、一支铅笔的基础上进行分析,对买多少个本子可以进行推算或者计算。 
  这里需要教师提醒学生注意题目中隐含的数学条件,它是促使学生正确推断的前提。在此题中,我们可以得出:铅笔花费的钱+本子花费的钱+橡皮花费的钱=100。但是这样的数学式子并不是直接给出的,它是我们根据题意而推出的。 
  2.巧妙解题方法 
  值得注意的是,如果所取的值过大时,比如,此题中要消费的金额为1000元时,穷举需要花费很多时间,这时教师就要引导学生考虑使用巧妙解题法。利用巧妙解题方法,学生可以快速得出题目的答案。教师可以在平时的练习中训练学生掌握这一方法。 
  让学生发现关键点是巧妙解题方法的一个策略。通过关键点,学生可以对题目实现简化操作。上题中的关键点就是整除与因子。通过分析题目,学生可以发现:在橡皮的数目等于铅笔的数目时,100元能正好用完。这是因为3和7都不是100的因子,100无法将之整除。而当学生发现3+7=10,恰好可以被100整除时,学生就可以推出:在橡皮的数目等于铅笔的数目时,100元可以恰好用完。因此,就可以将铅笔数等于橡皮数的情况全部列出。但是值得注意的是,教师还要引导学生考虑某一件东西的购买数量为0的情况。例如:当我们购买10块橡皮、0支铅笔和7个本子时,橡皮的数目并不等于铅笔的数目,但是其所花费的金额一样可以满足题目中恰好花费100元的条件。 
  综上所述,列举法在数学中具有很重要的意义,很多数学习题中都要使用此种方法。在列举的过程中,解题者很容易犯一些逻辑上的错误。因此,教师应该让学生掌握一些列举策略,并了解列举过程中容易出现的一些问题,这样就能促使学生更好地使用列举法来解题。 

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