创新教材题目使用有效激活数学教学
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时间：2017-08-14
一、发散式引发教材题目
发散式思维又称辐射思维、扩散思维和求异思维。它是一种创新思维。教师在授课时要诱发学生从一个数学问题出发，多方面、深层次地去思考、探索。纵横联想所学的知识，融合不同部分的数学知识和思想方法，对培养学生思维的多向性大有帮助。
如问题1：设计一本长为27cm，宽为21cm的书的封面，要求正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形。如果使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的1/4，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应当如何设计四周边衬的宽度？
分析并解决了例题的问题后，教师应引导学生继续思考，将上个问题变成问题2：四周的边衬等宽时，且使彩边占总面积的1/2时，求四周边衬宽度（作为练习）。教师继续引导学生思考，书的封面变成一张2倍尺寸的硬纸片，在四角上各裁去一个小正方形制成一个无盖鞋盒，当此小正方形的边长为多少时，使制成鞋盒的底面积是原矩形面积的一半？若要制成的鞋盒是有盖的呢？
教师还应该继续引发问题。假如以上矩形是某镇中心花园，长为27m，宽为21m，现要在这块园地上开辟一个花圃。使花圃的面积等于原矩形面积的一半。应如何设计？设计得越多越好。（可延伸到课外）
以上就是通过将书本的一个例题进行拓展，延伸，引导学生去发现问题、解决问题。这样充分发挥了学生的主体作用，张扬了个性，披露了灵性，有利于学生思维的拓展。
又如：求证等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，引导学生将文字翻译成几何语言，即已知，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G。求证：DF+DE= CG。
数学教育家G·波利亚提倡主动性学习，基本原则是“学习任何东西，最好的途径是自己去发现。”因此，教师利用△BDE或△CDF的模型进行翻折，使学生悟出两种基本的解题方法（延接法，截割法）。在此基础上教师还应引导他们，由于DE、DF、CG都垂直于AB或AC，且AB=AC，所以嘗试用三角形的面积法，师生共同完成后，教师告诉学生还有其他证明的方法，希望学生课外继续探究。
条条大路通罗马。解题和走路一样，数学问题的解法往往大多不是单一的。每解完一道题，教师要善于引导学生进行周密地思考分析：是否有规律可寻找，能否从特殊问题的解法中引伸出一般数学问题的通用性解法。这个问题解法有没有与其他问题的解法相似或相同，通过比较、归纳，从而找出解答这一类问题的技巧和方法。这样强化数学知识的运用，提高学生的知识迁移能力。克服部分学生只会模仿的缺点，有利于创新思维的发展。
二、联想式引发教材题目
联想是一个数学问题想到另一个（类）数学问题的心理活动。因为创造离不开想象，想象离不开联想。想象和联想是创新思维的两大支柱。所以，怎样培养学生勇于发现问题、善于提出问题，这就要求教师能够深入分析并把握知识之间的联系，从学生的实际出发，依据学生的认知规律和思维特点，提出富有启发性或趣味性的问题。教师可以针对课本题目设计一些开放性的教学内容，让学生展开充分的联想和想象。
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。根据上述条件，结合图形写出结论并加以证明。
问题一出，课堂顿时沸腾了。教师适时组织大家讨论。
有的学生回答∠1=∠B，∠2=∠A；有的学生提出，既然∠1=∠B，∠2= ∠A，便可得出△ACD∽△CBD，进一步讨论后得出：△ABC∽△ACD∽△CBD；又有学生认为，有相似就有对应线段成比例……教师都一一给予肯定，并要求学生通过对应线段正比例找出等积式，这样大多数同学都能得出：CD2=AD·BD，BC2=BD·AB，AC2= AD·AB。如果见到有两条直角边AC、BC的平方，教师就提醒：将两直角边的平方加起来试试。于是学生迅速得出AC2+BC2=AB2。学生兴趣高涨。继续探究，根据面积法可得出AB·CD=BC·AC。如果知道两直角边，就可求出斜边上的高CD= ，这比用其他方法求解容易多了。
这道例题充分激发学生探求问题结论的兴趣，实现了灵活运用数学知识、开发智力、提高能力的教学目标。在数学解题中，教师指导学生进行大胆而合理的联想和猜想，往往有利于学生发现问题的结论，找到解决问题的途径，有利于培养创新思维。
发散式思维又称辐射思维、扩散思维和求异思维。它是一种创新思维。教师在授课时要诱发学生从一个数学问题出发，多方面、深层次地去思考、探索。纵横联想所学的知识，融合不同部分的数学知识和思想方法，对培养学生思维的多向性大有帮助。
如问题1：设计一本长为27cm，宽为21cm的书的封面，要求正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形。如果使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的1/4，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应当如何设计四周边衬的宽度？
分析并解决了例题的问题后，教师应引导学生继续思考，将上个问题变成问题2：四周的边衬等宽时，且使彩边占总面积的1/2时，求四周边衬宽度（作为练习）。教师继续引导学生思考，书的封面变成一张2倍尺寸的硬纸片，在四角上各裁去一个小正方形制成一个无盖鞋盒，当此小正方形的边长为多少时，使制成鞋盒的底面积是原矩形面积的一半？若要制成的鞋盒是有盖的呢？
教师还应该继续引发问题。假如以上矩形是某镇中心花园，长为27m，宽为21m，现要在这块园地上开辟一个花圃。使花圃的面积等于原矩形面积的一半。应如何设计？设计得越多越好。（可延伸到课外）
以上就是通过将书本的一个例题进行拓展，延伸，引导学生去发现问题、解决问题。这样充分发挥了学生的主体作用，张扬了个性，披露了灵性，有利于学生思维的拓展。
又如：求证等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，引导学生将文字翻译成几何语言，即已知，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CG⊥AB于G。求证：DF+DE= CG。
数学教育家G·波利亚提倡主动性学习，基本原则是“学习任何东西，最好的途径是自己去发现。”因此，教师利用△BDE或△CDF的模型进行翻折，使学生悟出两种基本的解题方法（延接法，截割法）。在此基础上教师还应引导他们，由于DE、DF、CG都垂直于AB或AC，且AB=AC，所以嘗试用三角形的面积法，师生共同完成后，教师告诉学生还有其他证明的方法，希望学生课外继续探究。
条条大路通罗马。解题和走路一样，数学问题的解法往往大多不是单一的。每解完一道题，教师要善于引导学生进行周密地思考分析：是否有规律可寻找，能否从特殊问题的解法中引伸出一般数学问题的通用性解法。这个问题解法有没有与其他问题的解法相似或相同，通过比较、归纳，从而找出解答这一类问题的技巧和方法。这样强化数学知识的运用，提高学生的知识迁移能力。克服部分学生只会模仿的缺点，有利于创新思维的发展。
二、联想式引发教材题目
联想是一个数学问题想到另一个（类）数学问题的心理活动。因为创造离不开想象，想象离不开联想。想象和联想是创新思维的两大支柱。所以，怎样培养学生勇于发现问题、善于提出问题，这就要求教师能够深入分析并把握知识之间的联系，从学生的实际出发，依据学生的认知规律和思维特点，提出富有启发性或趣味性的问题。教师可以针对课本题目设计一些开放性的教学内容，让学生展开充分的联想和想象。
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。根据上述条件，结合图形写出结论并加以证明。
问题一出，课堂顿时沸腾了。教师适时组织大家讨论。
有的学生回答∠1=∠B，∠2=∠A；有的学生提出，既然∠1=∠B，∠2= ∠A，便可得出△ACD∽△CBD，进一步讨论后得出：△ABC∽△ACD∽△CBD；又有学生认为，有相似就有对应线段成比例……教师都一一给予肯定，并要求学生通过对应线段正比例找出等积式，这样大多数同学都能得出：CD2=AD·BD，BC2=BD·AB，AC2= AD·AB。如果见到有两条直角边AC、BC的平方，教师就提醒：将两直角边的平方加起来试试。于是学生迅速得出AC2+BC2=AB2。学生兴趣高涨。继续探究，根据面积法可得出AB·CD=BC·AC。如果知道两直角边，就可求出斜边上的高CD= ，这比用其他方法求解容易多了。
这道例题充分激发学生探求问题结论的兴趣，实现了灵活运用数学知识、开发智力、提高能力的教学目标。在数学解题中，教师指导学生进行大胆而合理的联想和猜想，往往有利于学生发现问题的结论，找到解决问题的途径，有利于培养创新思维。
三、改变式引发教材题目
改变会产生创造。教师要善于引导学生的原材料上进行“改组、颠倒、迭加”等。将新的数学问题展现在学生的面前，使学生感到好奇，进而用新视角去观察，发现问题，并寻找解决问题的途径和方法。
例如：九年级教材中：有块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm。
如图（1），要把它加工成正方形零件，使正方形的边在BC边上，问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
在分析并解决原题的基础上，教师应引导学生将问题不断展开：
（1）当其他条件不变，而截去的是矩形时，能否求出该矩形的最大面积？带着这个问题，让共桌学生展开讨论、交流。经过合作交流后，多数学生会利用二次函数的最值求得矩形的面积。
（2）去掉使正方形的边在BC边上的条件时，这个正方形与△ABC的位置关系有哪些情况？①正方形的一边FG在△ABC的外部，能否求出该正方形的边长？（师生共同分析探索，说明不能求出正方形的边长）。然后引导学生编拟出函数问题，设正方形EFGH与△ABC 的重叠部分的面积为y，正方形的边长为x，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。②正方形的一边FG在△ABC的内部，其他同上。
（3）教师深入引导学生开展探究活动：把以上的正方形改为等腰直角三角形EFG的EG平行于BC，点F与点A在EG的两侧，设此等腰直角三角形与△ABC的公共部分的面积为y，斜边EG为x，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
布鲁纳指出，“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动。”学生的思维往往是遇到问题时，才凸显出格外活跃的状态，问题或问题的发现是创新思维的“启动器”，正是说明了这个道理。由此可见，教师在教学中能够引领学生充分挖掘课程教材三题的潜在功能，对其进行合理的改变。不仅开阔了学生思路，提高了学习的效率，还使学生领略了探索、尝试的全过程。使他们学会了观察、分析、综合、概括等方法。锻炼了归纳、演绎等推理能力，提高了学生的思维品质，促进了创新思维的发展。
四、归纳式引发教材题目
归纳是一种由特殊的和具体的认识推导出一般性结论的认识方法。归纳式引发要求学生分析特殊的事例，找出隐含在其背后的一般规律，然后又借助进一步的特殊化去检验一般规律的正确性，以训练学生综合分析能力和综合概括能力等。
如：（1）三角形ABC中，CB=a，D1、E1是AB、AC的中点，D2、E2是AD1、AE1的中点，则D2E2=_____；……
DnEn是ADn-1、AEn-1的中点，则DnEn=____
（2）若D2、E2是BD1、CE1的中点，D3、E3是BD2、CE2的中点，则D3E3=____；……
Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点，则DnEn=____（n≥1的正整数）
再如：观察下列等式32-12=8；72-52=24；92-72=32……
经过以上系统性的特殊化，学生可以获得以下的一般规律，即任何两个相邻奇数的平方差都是8的倍数：（2n+ 1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，反过来，以可用特殊化对一般性结论进行检验。当n=20时，侧412-392=20×8。教师还可以引导学生对相邻偶数的平方差作出猜想，并加以证明。
科学上的创新，总是在总结前人成果的基础上发展得来的。学生每解决一个数学问题后，教师都应该引导学生对该问题进行分析、概括、总结、反思、使学生从特殊的、具体的问题中领悟出一般的、普遍的规律，不断培养学生的总结、归纳、反思的能力。
著名数学家笛卡儿说：“世界上最有价值的知识是关于方法的知识。”授之于鱼，不如授之渔的寓意也就在此。教师立足教材并且创造性地使用教材，巧妙引发数学问题，又防止学生“一叶障目，不见泰山”。学生学会多角度、多领域地审视数学问题，不断发现新问题，提出新见解，揭示新规律，解决新问题。这样学生才能逐步从模仿走向创新。
【参考文献】
[1] 耿飞飞. 数学习题教学中知识促进能力的发展[J]. 课程·教材·教法，2014 （2）.
[2] 何金明、杨柳. 数学例题教学研究[J]. 教學与管理，2016（1）.
（作者单位：浙江省台州市黄岩区院桥初级中学）
改变会产生创造。教师要善于引导学生的原材料上进行“改组、颠倒、迭加”等。将新的数学问题展现在学生的面前，使学生感到好奇，进而用新视角去观察，发现问题，并寻找解决问题的途径和方法。
例如：九年级教材中：有块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm。
如图（1），要把它加工成正方形零件，使正方形的边在BC边上，问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
在分析并解决原题的基础上，教师应引导学生将问题不断展开：
（1）当其他条件不变，而截去的是矩形时，能否求出该矩形的最大面积？带着这个问题，让共桌学生展开讨论、交流。经过合作交流后，多数学生会利用二次函数的最值求得矩形的面积。
（2）去掉使正方形的边在BC边上的条件时，这个正方形与△ABC的位置关系有哪些情况？①正方形的一边FG在△ABC的外部，能否求出该正方形的边长？（师生共同分析探索，说明不能求出正方形的边长）。然后引导学生编拟出函数问题，设正方形EFGH与△ABC 的重叠部分的面积为y，正方形的边长为x，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。②正方形的一边FG在△ABC的内部，其他同上。
（3）教师深入引导学生开展探究活动：把以上的正方形改为等腰直角三角形EFG的EG平行于BC，点F与点A在EG的两侧，设此等腰直角三角形与△ABC的公共部分的面积为y，斜边EG为x，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
布鲁纳指出，“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动。”学生的思维往往是遇到问题时，才凸显出格外活跃的状态，问题或问题的发现是创新思维的“启动器”，正是说明了这个道理。由此可见，教师在教学中能够引领学生充分挖掘课程教材三题的潜在功能，对其进行合理的改变。不仅开阔了学生思路，提高了学习的效率，还使学生领略了探索、尝试的全过程。使他们学会了观察、分析、综合、概括等方法。锻炼了归纳、演绎等推理能力，提高了学生的思维品质，促进了创新思维的发展。
四、归纳式引发教材题目
归纳是一种由特殊的和具体的认识推导出一般性结论的认识方法。归纳式引发要求学生分析特殊的事例，找出隐含在其背后的一般规律，然后又借助进一步的特殊化去检验一般规律的正确性，以训练学生综合分析能力和综合概括能力等。
如：（1）三角形ABC中，CB=a，D1、E1是AB、AC的中点，D2、E2是AD1、AE1的中点，则D2E2=_____；……
DnEn是ADn-1、AEn-1的中点，则DnEn=____
（2）若D2、E2是BD1、CE1的中点，D3、E3是BD2、CE2的中点，则D3E3=____；……
Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点，则DnEn=____（n≥1的正整数）
再如：观察下列等式32-12=8；72-52=24；92-72=32……
经过以上系统性的特殊化，学生可以获得以下的一般规律，即任何两个相邻奇数的平方差都是8的倍数：（2n+ 1）2-（2n-1）2=4n×2=8n，反过来，以可用特殊化对一般性结论进行检验。当n=20时，侧412-392=20×8。教师还可以引导学生对相邻偶数的平方差作出猜想，并加以证明。
科学上的创新，总是在总结前人成果的基础上发展得来的。学生每解决一个数学问题后，教师都应该引导学生对该问题进行分析、概括、总结、反思、使学生从特殊的、具体的问题中领悟出一般的、普遍的规律，不断培养学生的总结、归纳、反思的能力。
著名数学家笛卡儿说：“世界上最有价值的知识是关于方法的知识。”授之于鱼，不如授之渔的寓意也就在此。教师立足教材并且创造性地使用教材，巧妙引发数学问题，又防止学生“一叶障目，不见泰山”。学生学会多角度、多领域地审视数学问题，不断发现新问题，提出新见解，揭示新规律，解决新问题。这样学生才能逐步从模仿走向创新。
【参考文献】
[1] 耿飞飞. 数学习题教学中知识促进能力的发展[J]. 课程·教材·教法，2014 （2）.
[2] 何金明、杨柳. 数学例题教学研究[J]. 教學与管理，2016（1）.
（作者单位：浙江省台州市黄岩区院桥初级中学）
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