通过数形结合有效衔接算理与算法
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时间：2017-09-23
一、有效衔接算理与算法的策略
小学阶段的学生，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大，但使用了数形结合的方法观察、分析问题，有助于学生理解数学实质，有助于提高学生数学思维水平。教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。
（一）数形结合，感悟算理
数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。数学通常是比较抽象的，尤其是算理、概念等。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。在教学中，学生对许多算理都模棱两可，如果能做到数形结合，学生便可透彻地加以理解。
如教学“20×3”时，学生说可以看作“2×3=6”来算，教师顺势引导，看成2，真的是2吗？从而引出把20看成2个十，用数的组成将整十数乘一位数转化为表内乘法，进行口算。即使转换了计数单位，只是凭空说一下学生还是不能深刻感悟，于是老师再将计数单位以更直观的小正方体来表示。课前老师就在学生头脑中建立了“一列小正方体就是一个十，一面小正方体是一个百，一个大正方体就是一个千”这样的表象。因而“20×3”就能化为两列小正方体一组，有这样3组一共是6列也就是60，从而有效地呈现了把“20×3”看成两个十乘3的理论依据。再把这个方法类推至“200×3”和“2000×3”，通过直观出示两面小正方体表示200，两个大正方体表示2000，让学生去理解为什么都可以用先不看0，而看成“2×3”去做，再举添上0这个方法去计算的原因。
通过将计数单位十、百、千转换成一列小正方体、一面小正方体和一个大立方体的形式，学生深刻地理解为什么可以把这几个算式都看成“2×3”，清晰地解释了算理，也揭示了算法的合理性。
（二）数形结合，掌握算法
学生只有理解了算理，才能“创造”出计算的方法，从而正确地计算。算理是一个内在规律，但在进行计算时，不仅思维强度大，而且计算的速度很慢，要提高计算效率，就需要找计算的普遍规律，提炼出一个简单的计算方法。
例如在教学《笔算多位数乘一位数（不进位）》中，学生已经知道“12×3”的算理实际就是3个2和3个10的和，因此教师引导学生：根据算理能不能把上面三个式子合并成一个竖式？从而引出乘法的原始竖式，再让全体学生读过程，加深对算理的理解。然后要求学生用原始的竖式进行練习，让学生在习题中充分理解二位数乘一位数的算理。在学生对算理有一定理解的基础上，引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考，对算理进行提炼和“创造”，从而对上面的竖式进行简化。通过对比进一步提炼出计算方法，用第二因数去乘第一个因数每一位上的数，再把所得的积加起来。
（三）数形结合，有效衔接
对学生而言，理解算理、构建算法注定是一个艰难跋涉的过程。在这一过程中，教师应起好引领作用。
首先要适时架桥铺路，而不能跨越“中间地带”。算理与算法之间有个缓冲的“中间地带”，在这个“中间地带”架桥铺路，沟通直观具体与抽象概括之间的联系，能促进学生更好地建构算法；跨越这个“中间地带”则不利于学生在理解算理的基础上提取算法。在《口算乘法》的教学中，老师利用小立方体图很好地将算理与算法结合起来，让学生经历了“小立方体图——算理理解——算法归纳”这一教学流程，将算理与算法进行有效的链接，以小方体为载体充分理解算理，并且归纳算法。
其次要让学生“来回穿行”，丰富体验，而不是“替蝶破茧”，简缩过程。在算理与算法的“缓冲区”，要提供充分的时间和空间让学生“来回穿行”，丰富体验，加深认识。如果简缩这一过程，学生原有的理解与抽象的算法之间会出现断层，算法建构与已有经验无法建立一种实质性的联系。如在《笔算乘法》一课中，老师在学生理解了竖式计算算理的基础上，并没有急于让学生去接受规定的竖式格式，而是根据算理让学生用原竖式进行计算，让学生对算理有一个丰富的体验。通过第一层次的练习体验启发学生思考根据算理能不能将算法进一步的简化，由于有了丰富的体验，学生都能将竖式计算的格式进行提炼和简化，并在前后对比中，主动构建出简便的计算方法。
最后，尊重学生，因势利导，而不能硬性嵌入。在算理与算法链接时，要充分尊重学生的理解和选择，适时因势利导，组织学生进行比较、交流、反思等。不能把自己的观点强加给学生，把自己认为好的方法硬性嵌入学生的认知结构。这种硬性嫁接只能为学生的认识留下“硬伤”，不利于学生认知结构的完善。例如在教学《口算乘法》时，教学完“20×3=60”可以用“20+20+20=60”去做后，也可以用转换成“2个十”×3=“6个十”去想。这里老师并没有急于将方法进行统一，而是再次用喜欢的方法做一做：“20×9”、“70×8”。在方法对比中让学生自主选择，逐步明白“2个十”×9=“18个十”，“7个十”×8=“56个十”，比用“20+20+20+20+20+20+20+20+20=180，70+70+70+70+70+70+70+70=560”来得更方便。从而使计算方法成为学生内心自主选择的一个过程，而不是教师强加给学生的。
二、数形结合有效衔接算理与算法策略应用的注意点
（一）数形结合，“形”与“数”结合材料选择的贴切性
材料的选择要符合学生的认知规律和思维发展程度。比如低年级学生适合用小棒图、实物图、小立方体图来承载算理和算法。因为低段学生直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。而高年级则适宜用线段图、线轴图等“形代替实物”的“形呈现”，培养学生掌握数形结合的表现形式。随着年龄段的提升，所选用的形也应该从实物过渡到“形代替实物”，逐步提升形的抽象度，培养学生的逻辑思维能力。
（二）数形结合，“数”与“形”的先后呈现时机的精确性
数形结合中“数”与“形”的呈现顺序是先“形”后“数”，还是先“数”后“形”应根据学生思维的发展特点而定，根据教材的阶段性而定。“形”的出现是在学生计算有困难或者对知识不理解的情况下，再化数为形，让学生通过数形结合来理解算理和掌握算法。太早，对知识的感悟不够深刻，没有一种内心的需求。太晚，则会体现“形”的实际价值，使数形结合流于形式。因此，呈现的时机，还要经过反复的思量，力求做到在对的时间，遇见对的形式。
（三）数形结合，发挥“数”与“形”联系效果的深刻性
注重在课堂教学中对学生数形结合学习方式的应用指导，教师出示了数形结合的情境时，应该提供适当的问题，创设必要的活动，引发学生思考，指引学生思维的方向。教师应充分利用学生形象思维的特点，大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。数与形的结合是教师和学生学习数学的一种思想方法，两者不能截然分开，两种都是符号，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆。
（四）数形结合，充分发挥学生的联想能力
联想是问题转化的桥梁，是一种自觉的和有目的的想象，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动。培养学生联想能力，对提高学生数形结合能力有较大的作用，通过联想、操作，感受数与形的密切联系，领悟数形结合的方法。
小学阶段的学生，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大，但使用了数形结合的方法观察、分析问题，有助于学生理解数学实质，有助于提高学生数学思维水平。教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。
（一）数形结合，感悟算理
数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。数学通常是比较抽象的，尤其是算理、概念等。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。在教学中，学生对许多算理都模棱两可，如果能做到数形结合，学生便可透彻地加以理解。
如教学“20×3”时，学生说可以看作“2×3=6”来算，教师顺势引导，看成2，真的是2吗？从而引出把20看成2个十，用数的组成将整十数乘一位数转化为表内乘法，进行口算。即使转换了计数单位，只是凭空说一下学生还是不能深刻感悟，于是老师再将计数单位以更直观的小正方体来表示。课前老师就在学生头脑中建立了“一列小正方体就是一个十，一面小正方体是一个百，一个大正方体就是一个千”这样的表象。因而“20×3”就能化为两列小正方体一组，有这样3组一共是6列也就是60，从而有效地呈现了把“20×3”看成两个十乘3的理论依据。再把这个方法类推至“200×3”和“2000×3”，通过直观出示两面小正方体表示200，两个大正方体表示2000，让学生去理解为什么都可以用先不看0，而看成“2×3”去做，再举添上0这个方法去计算的原因。
通过将计数单位十、百、千转换成一列小正方体、一面小正方体和一个大立方体的形式，学生深刻地理解为什么可以把这几个算式都看成“2×3”，清晰地解释了算理，也揭示了算法的合理性。
（二）数形结合，掌握算法
学生只有理解了算理，才能“创造”出计算的方法，从而正确地计算。算理是一个内在规律，但在进行计算时，不仅思维强度大，而且计算的速度很慢，要提高计算效率，就需要找计算的普遍规律，提炼出一个简单的计算方法。
例如在教学《笔算多位数乘一位数（不进位）》中，学生已经知道“12×3”的算理实际就是3个2和3个10的和，因此教师引导学生：根据算理能不能把上面三个式子合并成一个竖式？从而引出乘法的原始竖式，再让全体学生读过程，加深对算理的理解。然后要求学生用原始的竖式进行練习，让学生在习题中充分理解二位数乘一位数的算理。在学生对算理有一定理解的基础上，引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考，对算理进行提炼和“创造”，从而对上面的竖式进行简化。通过对比进一步提炼出计算方法，用第二因数去乘第一个因数每一位上的数，再把所得的积加起来。
（三）数形结合，有效衔接
对学生而言，理解算理、构建算法注定是一个艰难跋涉的过程。在这一过程中，教师应起好引领作用。
首先要适时架桥铺路，而不能跨越“中间地带”。算理与算法之间有个缓冲的“中间地带”，在这个“中间地带”架桥铺路，沟通直观具体与抽象概括之间的联系，能促进学生更好地建构算法；跨越这个“中间地带”则不利于学生在理解算理的基础上提取算法。在《口算乘法》的教学中，老师利用小立方体图很好地将算理与算法结合起来，让学生经历了“小立方体图——算理理解——算法归纳”这一教学流程，将算理与算法进行有效的链接，以小方体为载体充分理解算理，并且归纳算法。
其次要让学生“来回穿行”，丰富体验，而不是“替蝶破茧”，简缩过程。在算理与算法的“缓冲区”，要提供充分的时间和空间让学生“来回穿行”，丰富体验，加深认识。如果简缩这一过程，学生原有的理解与抽象的算法之间会出现断层，算法建构与已有经验无法建立一种实质性的联系。如在《笔算乘法》一课中，老师在学生理解了竖式计算算理的基础上，并没有急于让学生去接受规定的竖式格式，而是根据算理让学生用原竖式进行计算，让学生对算理有一个丰富的体验。通过第一层次的练习体验启发学生思考根据算理能不能将算法进一步的简化，由于有了丰富的体验，学生都能将竖式计算的格式进行提炼和简化，并在前后对比中，主动构建出简便的计算方法。
最后，尊重学生，因势利导，而不能硬性嵌入。在算理与算法链接时，要充分尊重学生的理解和选择，适时因势利导，组织学生进行比较、交流、反思等。不能把自己的观点强加给学生，把自己认为好的方法硬性嵌入学生的认知结构。这种硬性嫁接只能为学生的认识留下“硬伤”，不利于学生认知结构的完善。例如在教学《口算乘法》时，教学完“20×3=60”可以用“20+20+20=60”去做后，也可以用转换成“2个十”×3=“6个十”去想。这里老师并没有急于将方法进行统一，而是再次用喜欢的方法做一做：“20×9”、“70×8”。在方法对比中让学生自主选择，逐步明白“2个十”×9=“18个十”，“7个十”×8=“56个十”，比用“20+20+20+20+20+20+20+20+20=180，70+70+70+70+70+70+70+70=560”来得更方便。从而使计算方法成为学生内心自主选择的一个过程，而不是教师强加给学生的。
二、数形结合有效衔接算理与算法策略应用的注意点
（一）数形结合，“形”与“数”结合材料选择的贴切性
材料的选择要符合学生的认知规律和思维发展程度。比如低年级学生适合用小棒图、实物图、小立方体图来承载算理和算法。因为低段学生直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。而高年级则适宜用线段图、线轴图等“形代替实物”的“形呈现”，培养学生掌握数形结合的表现形式。随着年龄段的提升，所选用的形也应该从实物过渡到“形代替实物”，逐步提升形的抽象度，培养学生的逻辑思维能力。
（二）数形结合，“数”与“形”的先后呈现时机的精确性
数形结合中“数”与“形”的呈现顺序是先“形”后“数”，还是先“数”后“形”应根据学生思维的发展特点而定，根据教材的阶段性而定。“形”的出现是在学生计算有困难或者对知识不理解的情况下，再化数为形，让学生通过数形结合来理解算理和掌握算法。太早，对知识的感悟不够深刻，没有一种内心的需求。太晚，则会体现“形”的实际价值，使数形结合流于形式。因此，呈现的时机，还要经过反复的思量，力求做到在对的时间，遇见对的形式。
（三）数形结合，发挥“数”与“形”联系效果的深刻性
注重在课堂教学中对学生数形结合学习方式的应用指导，教师出示了数形结合的情境时，应该提供适当的问题，创设必要的活动，引发学生思考，指引学生思维的方向。教师应充分利用学生形象思维的特点，大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。数与形的结合是教师和学生学习数学的一种思想方法，两者不能截然分开，两种都是符号，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆。
（四）数形结合，充分发挥学生的联想能力
联想是问题转化的桥梁，是一种自觉的和有目的的想象，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动。培养学生联想能力，对提高学生数形结合能力有较大的作用，通过联想、操作，感受数与形的密切联系，领悟数形结合的方法。
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