提升学生数学解题能力
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时间：2017-08-14
一、以数化形，理解内容
以数化形是数学解题中最常用的一种方法，学生在理解那些抽象性比较高的数量关系时可能有一定的难度，无法形成深刻地理解和认识，学习效果不理想。此时若引入“形”这一解题思路，通过直观的图形将数学难题展现出来，那么学生学习就不再感到有压力了。
比如在学习了解方程让求方程的不同解时，我设计了这样的教学。我设计了这样一道题让学生学习，题是这样设计的：
方程|x2-1|=a+1，讨论a取不同值时x的值即此方程的解的个数。学生没有一定的技巧做的话就会使问题难度加大。但此时如果结合图形来做，将数据理论形象化就会降低问题的难度。首先分析这道题，可以看出这是一道一元二次方程加绝对值后求解，然后将这一个等式拆分成俩个式子即y=|x2-1|和y=a+ 1，如此一来解决这道题就可以利用图形关系，也就是最终这道题的解法是求y=|x2-1|与y=a+1的交点。其实这时候学生再观察这道题可以发现y=a+1，因为a不是未知数，所以它的图形就平行于x轴，且是一条直线。而y=|x2-1|就是一个简单的一元二次方程，它们在图形中就如下面的图形所示。通过图形转换，难题立马变简单题。
在数学解题中，遇到难的数字化太强的题目，无从下手时，不妨试着换个思路，将数字转化为图形，说不定就柳岸花明了。
二、以形变数，定量分析
在数学这门科学中，数学理论形式可以通过一定的图形将数学理论展现出来，从而将有些数学问题简单化。同樣的，有时将图形数字化也会起到简化数学的作用，将图形从形象化到数据的定量分析，会在解决实际问题起到事半功倍的效果。
高中数学，无疑在以前数学学习的基础上上了一个阶梯，这使许多学生立马感到学习的难度遇到图形题时更是无从下手。这时，以形变数，将图形问题定量化分析，会使学习数学不那么困难。比如我就此观点设计了这样的一道例题供学生深深的体会到以形变数的重要性。f（m）=m2-2nm+2，条件当m在 [-1，+∞]，f（m）>n恒成立，求n的取值范围。通过分析可以发现f（m）>n恒成立，即可以写成m2-2nm+2-n>0恒成立。接着引入g（m），使g（m）=m2-2nm+2-n，这时它的图像在自变量范围内都是大于0所以就位于x轴的上方。此时，应用图形显然不能解决这道题，于是换个角度讲，如此时利用判别式这个数学方法来做。问题就迎刃而解了。分析题可以得出当△=4n2-4（2-n）<0，可以得到n∈（-2，1），当△=4n2-4（2-n）≥0时，可得到n<-1，且g（-1）>0，此时n∈（-3，-1）。如此一来，学生利用数学公式会又快又准确的把题解出来。
是啊，从以上的解题过程中可以看出，虽然图形可以直观的展示出来，让我们直观的看出来，但对于一些涉及量化的知识图形就做不到了，此时借助一些特有的数字公式或结论，会使问题变得无比简单。
三、数形互变，灵活应用
一直以来，数形互变就是所有老师最为提倡的一种解题方法，这种方法在高中数学中更是体现的淋漓尽致。教师应该采取适当的方法设计课程，寓数于形，以形于数来帮助学生解决抽象的数学问题，从而提高学生学习兴趣，将高中数学学习到极致。
好多学生不能感受到这种解题方法的思想，所以为了让学生能深刻的体会与掌握数形结合这种数学思路，我设计了这样的课程。我给学生设计了这样一道例题让学生做。那个题是这样说的，线段PQ中P（-1，1），Q（2，2）的坐标已知，此时直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交于一点，求m的取值范围。刚开始做的时候，学生解题的花样很多，但不得不说有些方法太过繁琐了。比较简洁的解题步骤是这样的，首先可将x+my+m=0化解一下，点斜式的形式：y+1=-1/m（x-0），从而得出l经过一个定点M（0，-1），且k=-1/m。然后进一步分析利用数形结合知识可以得到：当过M且与PQ平行时，此时可以看出l的斜率是最小的；当过M、Q时，l的斜率近似于最大。就得出kPQ=1/3，且kMQ=3/2。写到这步答案就快出来了，因为此直线的斜率大于kPQ且小于kMQ可以得出1/3<-1/m<3/2，最后得出m的取值范围为-3 从上面的解题过程可以看出，有时候综合使用“数形转换”，理解数形转换的实质，遇到实际问题从数形转换着手，就一定会在有限的时间解出问题，从而更好的应用在数学解题中的一种方法。根据数形结合所特有的适用条件，解题时首先考虑数形结合，那么我想，任何难题都将会迎刃而解。
总之，将数学一些数学思想巧妙地用于解题过程中，会使高中数学不像想象中的那么难。高中数形结合更是这样一种方法，学生掌握了解题技巧后不仅看到书本不发愁，还使得解题速度及解题的准确性得到很大的提高。
（作者单位：江苏省海门市第一中学）
以数化形是数学解题中最常用的一种方法，学生在理解那些抽象性比较高的数量关系时可能有一定的难度，无法形成深刻地理解和认识，学习效果不理想。此时若引入“形”这一解题思路，通过直观的图形将数学难题展现出来，那么学生学习就不再感到有压力了。
比如在学习了解方程让求方程的不同解时，我设计了这样的教学。我设计了这样一道题让学生学习，题是这样设计的：
方程|x2-1|=a+1，讨论a取不同值时x的值即此方程的解的个数。学生没有一定的技巧做的话就会使问题难度加大。但此时如果结合图形来做，将数据理论形象化就会降低问题的难度。首先分析这道题，可以看出这是一道一元二次方程加绝对值后求解，然后将这一个等式拆分成俩个式子即y=|x2-1|和y=a+ 1，如此一来解决这道题就可以利用图形关系，也就是最终这道题的解法是求y=|x2-1|与y=a+1的交点。其实这时候学生再观察这道题可以发现y=a+1，因为a不是未知数，所以它的图形就平行于x轴，且是一条直线。而y=|x2-1|就是一个简单的一元二次方程，它们在图形中就如下面的图形所示。通过图形转换，难题立马变简单题。
在数学解题中，遇到难的数字化太强的题目，无从下手时，不妨试着换个思路，将数字转化为图形，说不定就柳岸花明了。
二、以形变数，定量分析
在数学这门科学中，数学理论形式可以通过一定的图形将数学理论展现出来，从而将有些数学问题简单化。同樣的，有时将图形数字化也会起到简化数学的作用，将图形从形象化到数据的定量分析，会在解决实际问题起到事半功倍的效果。
高中数学，无疑在以前数学学习的基础上上了一个阶梯，这使许多学生立马感到学习的难度遇到图形题时更是无从下手。这时，以形变数，将图形问题定量化分析，会使学习数学不那么困难。比如我就此观点设计了这样的一道例题供学生深深的体会到以形变数的重要性。f（m）=m2-2nm+2，条件当m在 [-1，+∞]，f（m）>n恒成立，求n的取值范围。通过分析可以发现f（m）>n恒成立，即可以写成m2-2nm+2-n>0恒成立。接着引入g（m），使g（m）=m2-2nm+2-n，这时它的图像在自变量范围内都是大于0所以就位于x轴的上方。此时，应用图形显然不能解决这道题，于是换个角度讲，如此时利用判别式这个数学方法来做。问题就迎刃而解了。分析题可以得出当△=4n2-4（2-n）<0，可以得到n∈（-2，1），当△=4n2-4（2-n）≥0时，可得到n<-1，且g（-1）>0，此时n∈（-3，-1）。如此一来，学生利用数学公式会又快又准确的把题解出来。
是啊，从以上的解题过程中可以看出，虽然图形可以直观的展示出来，让我们直观的看出来，但对于一些涉及量化的知识图形就做不到了，此时借助一些特有的数字公式或结论，会使问题变得无比简单。
三、数形互变，灵活应用
一直以来，数形互变就是所有老师最为提倡的一种解题方法，这种方法在高中数学中更是体现的淋漓尽致。教师应该采取适当的方法设计课程，寓数于形，以形于数来帮助学生解决抽象的数学问题，从而提高学生学习兴趣，将高中数学学习到极致。
好多学生不能感受到这种解题方法的思想，所以为了让学生能深刻的体会与掌握数形结合这种数学思路，我设计了这样的课程。我给学生设计了这样一道例题让学生做。那个题是这样说的，线段PQ中P（-1，1），Q（2，2）的坐标已知，此时直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交于一点，求m的取值范围。刚开始做的时候，学生解题的花样很多，但不得不说有些方法太过繁琐了。比较简洁的解题步骤是这样的，首先可将x+my+m=0化解一下，点斜式的形式：y+1=-1/m（x-0），从而得出l经过一个定点M（0，-1），且k=-1/m。然后进一步分析利用数形结合知识可以得到：当过M且与PQ平行时，此时可以看出l的斜率是最小的；当过M、Q时，l的斜率近似于最大。就得出kPQ=1/3，且kMQ=3/2。写到这步答案就快出来了，因为此直线的斜率大于kPQ且小于kMQ可以得出1/3<-1/m<3/2，最后得出m的取值范围为-3
总之，将数学一些数学思想巧妙地用于解题过程中，会使高中数学不像想象中的那么难。高中数形结合更是这样一种方法，学生掌握了解题技巧后不仅看到书本不发愁，还使得解题速度及解题的准确性得到很大的提高。
（作者单位：江苏省海门市第一中学）
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